Vedic Math Analysis

Core Principle / Theory

‘परावर्त्य योजयेत्’ इति वैदिकगणितस्य एकं महत्त्वपूर्णं सूत्रमस्ति। अस्य शाब्दिकः अर्थः ‘परिवर्तनं कृत्वा योजयेत्’ (Transpose and Apply) इति। यदा भाजकः (Divisor) आधारसंख्यायाः (यथा १०, १००, १०००) किञ्चित् अधिकः भवति, तदा अस्य सूत्रस्य प्रयोगः क्रियते। अस्मिन् विधौ भाजकस्य विचलनं (Deviation) ज्ञात्वा तस्य चिह्नं परिवर्त्य (धनं ऋणं वा कृत्वा) भाज्यस्य अङ्कैः सह योगः क्रियते। एषा पद्धतिः बहुपदीयविभाजने (Polynomial Division) अपि अतीव उपयोगिनी अस्ति।

वैदिकविधिः (परावर्त्य योजयेत्) – उदाहरणार्थं भाजकः ११

Steps:

अस्मिन् प्रश्ने भाजकः न निर्दिष्टः, अतः विधिं स्पष्टयितुं वयं ‘११’ इति भाजकत्वेन स्वीकुर्मः।
१. भाजकः = ११, आधारः = १०। विचलनम् = +१। अतः परावर्त्य (परिवर्तितः) अङ्कः = -१ (Bar 1)।
२. भाज्यं ७,८२,६२३ अस्ति। आधारः १० अस्ति अतः दक्षिणतः एकः अङ्कः (३) शेषभागे स्थाप्यते।
३. प्रथमः अङ्कः ‘७’ यथावत् अधः लिख्यते।
४. ७ × (-१) = -७। द्वितीयः अङ्कः ८ + (-७) = १।
५. १ × (-१) = -१। तृतीयः अङ्कः २ + (-१) = १।
६. १ × (-१) = -१। चतुर्थः अङ्कः ६ + (-१) = ५।
७. ५ × (-१) = -५। पञ्चमः अङ्कः २ + (-५) = -३ (Bar 3)।
८. (-३) × (-१) = ३। अन्तिमः अङ्कः (शेषभागः) ३ + ३ = ६।
९. भागफलम्: ७११५(Bar 3)। अत्र (Bar 3) इति ऋणात्मकं मानं निवारयितुं वामतः १ न्यूनीकृत्य १० तः ३ वियोजयामः (५० – ३ = ४७)।
१०. अन्तिमं भागफलम् = ७१,१४७, शेषः = ६।

Visual Representation:

text
Divisor : 11 (Base 10)
Dev.    : +1
Trans.  : -1

      7   8   2   6   2   |   3
          -7  -1  -1  -5  |   3
----------------------------------
      7   1   1   5  -3   |   6

Resolving Vinculum (Negative Digit -3):
... 5 (-3) ... = ... (5-1) (10-3) ... = ... 4 7

Final Quotient  : 71,147
Final Remainder : 6

परम्परागतः दीर्घविभाजनविधिः (Long Division)

Steps:

१. सर्वप्रथमं ७८ सङ्ख्यां ११ द्वारा विभज्यताम्। ११ × ७ = ७७। शेषः १।
२. १ सह २ अवतार्य १२ भवति। ११ × १ = ११। शेषः १।
३. १ सह ६ अवतार्य १६ भवति। ११ × १ = ११। शेषः ५।
४. ५ सह २ अवतार्य ५२ भवति। ११ × ४ = ४४। शेषः ८।
५. ८ सह ३ अवतार्य ८३ भवति। ११ × ७ = ७७। शेषः ६।
६. अतः भागफलम् ७१,१४७ तथा च शेषः ६ प्राप्तः। अयं विधिः वैदिकविधेः अपेक्षया अधिकं समयं गणनकार्यं च अपेक्षते।

अनुप्रयोगाः (Applications)

सङ्गणकविज्ञाने (Computer Science) ‘CRC’ (Cyclic Redundancy Check) गणनायां बहुपदीयविभाजनार्थम् अस्य प्रयोगः भवति।
सङ्केतसिद्धान्ते (Coding Theory) तथा कूटलेखने (Cryptography) बृहत् सङ्ख्यानां गणनाय इदं सूत्रं उपयुक्तम्।
डिजिटल-सिग्नल-प्रोसेसिंग (DSP) मध्ये फिष्टर-डिजाइनिंग (Filter Designing) कृते अस्य उपयोगः सम्भवति।
बीजगणते (Algebra) क्लिष्टानां बहुपदीयसमीकरणानां (Polynomial Equations) शीघ्रं समाधानं कर्तुम्।