Paravartya Yojayet,

वैदिक विधि (परावर्त्य योजयेत्)-बहुपद विभाजन (Polynomial Division) 

by
Vedic Math Analysis

Vedic Math Analysis

Core Principle / Theory

परावर्त्य योजयेत् (Paravartya Yojayet) वैदिक गणित का एक महत्वपूर्ण सूत्र है, जिसका अर्थ है ‘पक्षांतरण करें और समायोजित करें’ (Transpose and Apply)। बीजगणित में, यह बहुपद विभाजन (Polynomial Division) के लिए अत्यंत उपयोगी है। इसका मुख्य सिद्धांत यह है कि भाजक (Divisor) के पदों के चिन्ह (Sign) बदलकर, घटाने की लंबी प्रक्रिया को जोड़ने की सरल प्रक्रिया में बदल दिया जाता है। यदि भाजक $x^2 – x – 1$ है, तो हम $-x$ और $-1$ का चिन्ह बदलकर $+1$ और $+1$ का उपयोग गुणक के रूप में करते हैं।

वैदिक विधि (परावर्त्य योजयेत्)

Steps:

  • प्रश्न: (x^4 – x^3 + x^2 + 3x + 5) ÷ (x^2 – x – 1)। (नोट: x^33 को टंकण त्रुटि मानकर x^3 हल किया गया है)।
  • चरण 1: भाजक (Divisor) x^2 – x – 1 है। x^2 को छोड़कर शेष गुणांक -1 और -1 हैं। इनका चिन्ह बदलकर ‘परिवर्तित गुणक’ (Modified Multipliers) +1 और +1 प्राप्त करें।
  • चरण 2: भाज्य (Dividend) के गुणांक लिखें: 1, -1, 1, 3, 5।
  • चरण 3: चूंकि भाजक की घात 2 है, इसलिए अंतिम दो पदों (3 और 5) को शेषफल (Remainder) के लिए अलग करें।
  • चरण 4: पहले गुणांक ‘1’ को नीचे उतारें। इसे परिवर्तित गुणकों (1, 1) से गुणा करें और अगले दो स्तंभों के नीचे लिखें।
  • चरण 5: दूसरे स्तंभ का योग करें: -1 + 1 = 0। अब 0 को गुणकों (1, 1) से गुणा करें और अगले स्तंभों में लिखें (0, 0)।
  • चरण 6: तीसरे स्तंभ का योग करें: 1 + 1 + 0 = 2। अब 2 को गुणकों (1, 1) से गुणा करें और शेषफल वाले भाग में लिखें (2, 2)।
  • चरण 7: शेषफल वाले स्तंभों का योग करें: (3 + 0 + 2 = 5) और (5 + 2 = 7)।
  • परिणाम: भागफल (Quotient) = 1x^2 + 0x + 2 = x^2 + 2 और शेषफल (Remainder) = 5x + 7।

Visual Representation:

Divisor: x^2 - x - 1
Modified Multipliers: +1, +1

      |  x^4  x^3  x^2 |  x^1  x^0
      |   1   -1    1  |   3    5
------+----------------+----------
 +1,+1|        1    1  |   
      |             0  |   0
      |                |   2    2
------+----------------+----------
      |   1    0    2  |   5    7

Quotient  = 1x^2 + 0x + 2  => x^2 + 2
Remainder = 5x + 7

पारंपरिक विधि (Long Division)

Steps:

  • चरण 1: x^4 को x^2 से विभाजित करें, परिणाम x^2 आता है। इसे भागफल में लिखें।
  • चरण 2: x^2 को पूरे भाजक (x^2 – x – 1) से गुणा करें: x^4 – x^3 – x^2।
  • चरण 3: इसे भाज्य से घटाएं: (x^4 – x^3 + x^2) – (x^4 – x^3 – x^2) = 2x^2।
  • चरण 4: अगले पद 3x और 5 को नीचे लाएं। नया भाज्य: 2x^2 + 3x + 5।
  • चरण 5: अब 2x^2 को x^2 से विभाजित करें, परिणाम +2 आता है।
  • चरण 6: +2 को भाजक (x^2 – x – 1) से गुणा करें: 2x^2 – 2x – 2।
  • चरण 7: घटाने की प्रक्रिया करें: (2x^2 + 3x + 5) – (2x^2 – 2x – 2)।
  • चरण 8: 3x – (-2x) = 5x और 5 – (-2) = 7।
  • निष्कर्ष: भागफल x^2 + 2 और शेषफल 5x + 7 प्राप्त होता है।

आधुनिक अनुप्रयोग (Applications)

  • डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग (DSP): IIR और FIR फिल्टर डिजाइन में बहुपद विभाजन का उपयोग होता है, जहां यह विधि गणना को तेज कर सकती है।
  • त्रुटि सुधार कोड (Error Correction Codes): CRC (Cyclic Redundancy Check) और Reed-Solomon कोड्स में बाइनरी बहुपद विभाजन के लिए उपयोगी।
  • कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली (CAS): सिम्बॉलिक कंप्यूटेशन सॉफ्टवेयर में बड़े बहुपदों को हल करने के लिए एल्गोरिदम के रूप में।
  • क्रिप्टोग्राफी (Cryptography): गैलोइस फील्ड (Galois Field) अर्थमेटिक में मॉड्यूलर बहुपद गणनाओं के लिए।