P-Value और सार्थकता स्तर (Significance Level): विस्तृत व्याख्या
सवाल विश्लेषण:
प्रश्न:
"एक अनुसंधानकर्ता विभिन्न प्रतिदर्शों के प्रतिदर्श सहसंबंध गुणांकों के लिए निम्नलिखित p-मान प्राप्त करता है। निम्नलिखित में से किसे 1% सार्थकता स्तर पर सार्थक माना जा सकता है?"
दिए गए p-values:
- A. 0.004
- B. 0.99
- C. 0.995
- D. 0.001
- E. 0.1
Choose the correct answer from the options given below: /नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर का चयन कीजिए :
(a) B & C only/केवल B और C
(b) B, D & E only/केवल B, D और E
(c) A & D only/केवल A और D
(d) B, C & E only/केवल B, C और E
[यू.जी.सी. NTA नेट/जेआरएफ परीक्षा, 13 जून-2023 Shit-I ]
इकाई 1: P-Value क्या है?
परिभाषा:
P-Value = Probability Value (संभाव्यता मान)
"P-value एक संभाव्यता है जो दर्शाती है कि यदि शून्य परिकल्पना (H₀) सत्य है, तो मनाई गई प्रतिदर्श सांख्यिकी से अधिक चरम परिणाम मिलने की संभाव्यता कितनी है।"
सरल भाषा में:
P-value = किसी परिणाम को "संयोग से" पाने की संभाव्यता
छोटा p-value → परिणाम संयोग से मिलना बहुत दुर्लभ
→ परिणाम सार्थक/महत्वपूर्ण है
बड़ा p-value → परिणाम संयोग से मिलना आम बात है
→ परिणाम साधारण/महत्वहीन है
उदाहरण:
p-value = 0.01 (1%)
अर्थ: यदि H₀ सत्य है, तो 100 बार में से
केवल 1 बार ऐसा परिणाम संयोग से मिले
p-value = 0.50 (50%)
अर्थ: यदि H₀ सत्य है, तो 2 बार में से
1 बार ऐसा परिणाम संयोग से मिल सकता है
इकाई 2: सार्थकता स्तर (Significance Level)
परिभाषा:
सार्थकता स्तर (α) = Significance Level
"सार्थकता स्तर एक पूर्व-निर्धारित सीमा है जिससे हम p-value की तुलना करते हैं।"
सामान्य सार्थकता स्तर:
1% सार्थकता स्तर: α = 0.01
5% सार्थकता स्तर: α = 0.05
10% सार्थकता स्तर: α = 0.10
निर्णय नियम:
बहुत महत्वपूर्ण नियम:
यदि p-value < α → परिणाम सार्थक है (Significant)
→ H₀ को अस्वीकार करें
यदि p-value ≥ α → परिणाम सार्थक नहीं है (Not Significant)
→ H₀ को स्वीकार करें
इकाई 3: 1% सार्थकता स्तर में व्याख्या
क्या मतलब है 1% सार्थकता स्तर का?
α = 0.01 (या 1%)
का अर्थ:
"हम 99% आत्मविश्वास के साथ कह सकते हैं कि
परिणाम सार्थक है"
या
"हम सिर्फ 1% की गलती की स्वीकृति देंगे"
निर्णय नियम (1% स्तर पर):
सार्थक परिणाम के लिए: p-value < 0.01
या
p-value < 1%
अन्य शब्दों में:
p-value को 0.01 से छोटा होना चाहिए
इकाई 4: दिए गए P-Values का विश्लेषण
प्रत्येक विकल्प की जांच:
α = 0.01 (1% सार्थकता स्तर)
विकल्प A: p = 0.004
─────────────────────
0.004 < 0.01 ? हाँ ✓
निष्कर्ष: SIGNIFICANT है
व्याख्या: संयोग से मिलने की संभाव्यता = 0.4%
बहुत दुर्लभ घटना
विकल्प B: p = 0.99
─────────────────────
0.99 < 0.01 ? नहीं ✗
निष्कर्ष: NOT SIGNIFICANT है
व्याख्या: संयोग से मिलने की संभाव्यता = 99%
बहुत आम बात है
विकल्प C: p = 0.995
─────────────────────
0.995 < 0.01 ? नहीं ✗
निष्कर्ष: NOT SIGNIFICANT है
व्याख्या: संयोग से मिलने की संभाव्यता = 99.5%
लगभग निश्चित है कि H₀ सत्य है
विकल्प D: p = 0.001
─────────────────────
0.001 < 0.01 ? हाँ ✓
निष्कर्ष: SIGNIFICANT है
व्याख्या: संयोग से मिलने की संभाव्यता = 0.1%
बेहद दुर्लभ घटना (सबसे महत्वपूर्ण)
विकल्प E: p = 0.1
─────────────────────
0.1 < 0.01 ? नहीं ✗
निष्कर्ष: NOT SIGNIFICANT है
व्याख्या: संयोग से मिलने की संभाव्यता = 10%
काफी आम है
इकाई 5: सार्थक विकल्प
1% स्तर पर सार्थक विकल्प:
✓ A. 0.004 → सार्थक (0.004 < 0.01)
✗ B. 0.99 → सार्थक नहीं (0.99 > 0.01)
✗ C. 0.995 → सार्थक नहीं (0.995 > 0.01)
✓ D. 0.001 → सार्थक (0.001 < 0.01)
✗ E. 0.1 → सार्थक नहीं (0.1 > 0.01)
सार्थक P-values: A और D
सारणी रूप:
P-Value | 0.01 से तुलना | निष्कर्ष
───────────────────────────────────
0.004 | < 0.01 | ✓ SIGNIFICANT
0.99 | > 0.01 | ✗ NOT Sig.
0.995 | > 0.01 | ✗ NOT Sig.
0.001 | < 0.01 | ✓ SIGNIFICANT
0.1 | > 0.01 | ✗ NOT Sig.
इकाई 6: सही उत्तर
विकल्प विश्लेषण:
(a) B & C only
✗ गलत – B (0.99) और C (0.995) दोनों > 0.01 हैं
(b) B, D & E only
✗ गलत – B (0.99) > 0.01 है (NOT significant)
✗ गलत – E (0.1) > 0.01 है (NOT significant)
(c) A & D only
✓ सही – A (0.004) < 0.01 (SIGNIFICANT)
✓ सही – D (0.001) < 0.01 (SIGNIFICANT)
(d) B, C & E only
✗ गलत – ये सभी NOT significant हैं
सही उत्तर:
(c) A & D only / केवल A और D
क्योंकि:
• p-value 0.004 < 0.01 → सार्थक
• p-value 0.001 < 0.01 → सार्थक
इकाई 7: अतिरिक्त व्याख्या
P-Value के महत्वपूर्ण बिंदु:
1. P-value छोटा = परिणाम दुर्लभ = महत्वपूर्ण
2. P-value बड़ा = परिणाम आम = महत्वहीन
3. तुलना के लिए मानदंड:
α = 0.01 (1% स्तर पर)
4. व्याख्या:
p < 0.01 → H₀ अस्वीकार (Result is significant)
p ≥ 0.01 → H₀ स्वीकार (Result is not significant)
सहसंबंध में सार्थकता:
सहसंबंध गुणांक के p-value से:
छोटा p-value → सहसंबंध वास्तविक है
→ संयोग नहीं है
बड़ा p-value → सहसंबंध संयोग हो सकता है
→ महत्वहीन हो सकता है
इकाई 8: सार्थकता स्तरों की तुलना
विभिन्न स्तरों पर विश्लेषण:
p-value = 0.004
1% स्तर (α=0.01): 0.004 < 0.01 → ✓ SIGNIFICANT
5% स्तर (α=0.05): 0.004 < 0.05 → ✓ SIGNIFICANT
10% स्तर (α=0.10): 0.004 < 0.10 → ✓ SIGNIFICANT
p-value = 0.001
1% स्तर (α=0.01): 0.001 < 0.01 → ✓ SIGNIFICANT
5% स्तर (α=0.05): 0.001 < 0.05 → ✓ SIGNIFICANT
10% स्तर (α=0.10): 0.001 < 0.10 → ✓ SIGNIFICANT
p-value = 0.1
1% स्तर (α=0.01): 0.1 > 0.01 → ✗ NOT SIGNIFICANT
5% स्तर (α=0.05): 0.1 > 0.05 → ✗ NOT SIGNIFICANT
10% स्तर (α=0.10): 0.1 > 0.10 → ✗ NOT SIGNIFICANT (सीमा पर)
महत्वपूर्ण सूत्र/अवधारणाएं:
सार्थकता निर्णय:
if (p-value < α) then
परिणाम सार्थक है (Reject H₀)
else
परिणाम सार्थक नहीं है (Accept H₀)
endif
α = 0.01 → 1% स्तर पर
→ 99% आत्मविश्वास
α = 0.05 → 5% स्तर पर
→ 95% आत्मविश्वास
α = 0.10 → 10% स्तर पर
→ 90% आत्मविश्वास
अतिरिक्त नोट्स:
P-Value की गलत व्याख्याएं (बचें):
❌ गलत: "p-value शून्य परिकल्पना सत्य होने की संभाव्यता है"
✓ सही: "p-value दिए गए डेटा और H₀ के तहत परिणाम पाने की संभाव्यता है"
❌ गलत: "छोटा p-value अनुसंधान परिकल्पना सत्य है की संभाव्यता"
✓ सही: "छोटा p-value यह दर्शाता है कि डेटा H₀ के विपरीत है"
सामान्य गलतियां:
1. P-value के साथ "> या <" के संकेत गलत लेना
✗ गलत: 0.99 < 0.01 → सार्थक
✓ सही: 0.004 < 0.01 → सार्थक
2. α (सार्थकता स्तर) और p-value को भ्रमित करना
α = पहले से तय की गई सीमा
p-value = डेटा से मिला परिणाम
3. सार्थकता को महत्व से भ्रमित करना
सार्थक = मनाया (Observed)
महत्व = व्यावहारिक (Practical)
सारांश:
1% सार्थकता स्तर पर सार्थक P-Values:
दिया गया: α = 0.01
नियम: p-value < 0.01 होना चाहिए
विकल्प:
A. 0.004 < 0.01 ✓ SIGNIFICANT
B. 0.99 > 0.01 ✗ NOT SIGNIFICANT
C. 0.995 > 0.01 ✗ NOT SIGNIFICANT
D. 0.001 < 0.01 ✓ SIGNIFICANT
E. 0.1 > 0.01 ✗ NOT SIGNIFICANT
सार्थक विकल्प: A और D
सही उत्तर: (c) A & D only / केवल A और D
अंतिम अपडेट: दिसंबर 2025