वैदिक-विधिः (परावर्त्य योजयेत्)-Divide: 7,826/23

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Vedic Math Analysis

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Core Principle / Theory

‘परावर्त्य योजयेत्’ इति वैदिकसूत्रस्य आधारेण इदं विभाजनं क्रियते। अस्य सूत्रस्य अर्थः अस्ति – ‘परिवर्तनं कृत्वा योजयतु’ (Transpose and Apply)। अस्मिन् विधौ भाजकस्य मुख्याङ्कं विहाय अन्येषां अङ्कानां चिह्नानि परिवर्त्य (धनात्मकं ऋणात्मकं कृत्वा) भाज्येन सह योज्यते। एषा पद्धतिः दीर्घविभाजनप्रक्रियां सरलीकरोति, विशेषतः यदा भाजकः आधारसंख्यायाः (Base) समीपे न भवति तदा अपि ‘ध्वजाङ्क’ विधिना सह मिश्रितं कृत्वा अस्य प्रयोगः सङ्ख्यानां शीघ्रगणनायै भवति।

वैदिक-विधिः (परावर्त्य योजयेत्)

Steps:

  • प्रथमं भाजकः २३ अस्ति। अत्र ‘२’ मुख्याङ्कः (Operator) तथा ‘३’ ध्वजाङ्कः (Flag) इति मन्यताम्।
  • परावर्त्य नियमानुसारं ध्वजाङ्कस्य ‘३’ इत्यस्य चिह्नं परिवर्त्य ‘-३’ (Modified Flag) इति स्वीक्रियते।
  • भाज्यम् ७८२६ अस्ति। प्रथमं ७ इत्यङ्कं २ द्वारा विभज्यताम्। (७ ÷ २ = ३, शेषः १)। भागफलम् ‘३’ अधः लिखन्तु।
  • शेषः १ अग्रिमस्य अङ्कस्य (८) वामभागे स्थाप्यते, येन ‘१८’ भवति। इदानीं (भागफलम् ३ × -३) = -९। १८ – ९ = ९।
  • प्राप्तं ९ पुनः २ द्वारा विभज्यताम्। (९ ÷ २ = ४, शेषः १)। भागफलम् ‘४’ अधः लिखन्तु।
  • शेषः १ अग्रिमस्य अङ्कस्य (२) वामभागे स्थाप्यते, येन ‘१२’ भवति। इदानीं (भागफलम् ४ × -३) = -१२। १२ – १२ = ०।
  • प्राप्तं ० पुनः २ द्वारा विभज्यताम्। (० ÷ २ = ०, शेषः ०)। भागफलम् ‘०’ अधः लिखन्तु।
  • शेषः ० अग्रिमस्य अङ्कस्य (६) वामभागे स्थाप्यते, येन ‘०६’ भवति। इदानीं (भागफलम् ० × -३) = ०। ६ – ० = ६।
  • अन्ते भागफलम् ३४० तथा शेषफलम् ६ प्राप्तम्।

Visual Representation:

Divisor: 23
   Operator: 2 | Transposed Flag: -3

       Dividend:  7    8    2   |  6
   -------------------------------------
   Process:
   1) 7 / 2 = 3 (Rem 1) -> Prefix 1 to 8 -> 18
      Corrected: 18 + (3 * -3) = 9

   2) 9 / 2 = 4 (Rem 1) -> Prefix 1 to 2 -> 12
      Corrected: 12 + (4 * -3) = 0

   3) 0 / 2 = 0 (Rem 0) -> Prefix 0 to 6 -> 06
      Corrected: 06 + (0 * -3) = 6 (Final Remainder)
   -------------------------------------
   Result:
   Quotient :  3    4    0
   Remainder:                  6

परम्परागत-विधिः (दीर्घ-विभाजनम्)

Steps:

  • सोपानम् १: ७८२६ ÷ २३। प्रथमं ७८ सङ्ख्यां स्वीकुर्वन्तु। २३ × ३ = ६९। ७८ – ६९ = ९।
  • सोपानम् २: ९ इत्यस्य पार्श्वे २ आनयन्तु (९२)। २३ × ४ = ९२। ९२ – ९२ = ०।
  • सोपानम् ३: ० इत्यस्य पार्श्वे ६ आनयन्तु (६)। ६ सङ्ख्या २३ तः लघ्वी अस्ति, अतः भागफलम् ० भवति।
  • सोपानम् ४: ६ – ० = ६। अत्र शेषफलम् ६ भवति।
  • अन्तिमं उत्तरम्: भागफलम् ३४०, शेषफलम् ६।

अनुप्रयोगाः (Applications)

  • सङ्गणक-कलनाविधौ (Computer Algorithms) द्रुतगति-विभाजनाय अस्य उपयोगः भवति।
  • बीजगणिते बहुपद-विभाजने (Polynomial Division) ‘परावर्त्य’ विधिः अत्यन्तं सरला अस्ति।
  • सङ्केत-संसाधने (Digital Signal Processing) त्रुटि-संशोधनार्थं (Error Correction) अस्य प्रयोगः शक्यते।
  • गूढलेख्ये (Cryptography) बृहत्-सङ्ख्यानां गणनाय एषा पद्धतिः उपयुक्ता।
  • 11 – भाद्रपद मासकी ‘अजा’ और ‘पद्मा’ एकादशीका माहात्य 
    लोमशजी बोले- प्रजाजनो ! श्रावण मासके शुक्लपक्षमें जो एकादशी होती है, वह ‘पुत्रदा’ के नामसे विख्यात है। वह मनोवाञ्छित फल प्रदान करनेवाली है। तुमलोग उसीका व्रत करो। यह सुनकर प्रजाओंने मुनिको नमस्कार किया और नगरमें आकर विधिपूर्वक पुत्रदा एकादशीके व्रतका अनुष्ठान किया। उन्होंने विधिपूर्वक जागरण भी किया और उसका निर्मल पुण्य राजाको दे दिया । … Read more
  • 14 – पुरुषोत्तम मासकी ‘कमला’ और ‘कामदा’
    एकादशीका माहात्म्य युधिष्ठिरने पूछा – भगवन् ! अब मैं श्रीविष्णुके व्रतोंमें उत्तम व्रतका, जो सब पापोंको हर लेनेवाला तथा व्रती मनुष्योंको मनोवाञ्छित फल देनेवाला हो, श्रवण करना चाहता हूँ। जनार्दन ! पुरुषोत्तम मासकी एकादशीकी कथा कहिये, उसका क्या फल है ? और उसमें किस देवताका पूजन किया जाता है ? प्रभो ! किस दानका क्या … Read more
  • 13 – कार्तिक मासकी ‘रमा’ और ‘प्रबोधिनी’एकादशीका माहात्म्य
    युधिष्ठिरने पूछा- जनार्दन ! मुझपर आपका स्नेह है; अतः कृपा करके बताइये। कार्तिकके कृष्णपक्षमें कौन-सी एकादशी होती है ? भगवान् श्रीकृष्ण बोले- राजन् ! कार्तिकके कृष्णपक्षमें जो परम कल्याणमयी एकादशी होती है, वह ‘रमा’ के नामसे विख्यात है। ‘रमा’ परम उत्तम है और बड़े-बड़े पापोंको हरनेवाली है। पूर्वकालमें मुचुकुन्द नामसे विख्यात एक राजा हो चुके … Read more
  • 12 – आश्विन मासकी ‘इन्दिरा’ और ‘पापाङ्कुशा’ एकादशीका माहात्य 
    युधिष्ठिरने पूछा- मधुसूदन ! अब कृपा करके यह बताइये कि आश्विनके शुक्लपक्षमें किस नामकी एकादशी होती है ? भगवान् श्रीकृष्ण बोले- राजन् ! आश्विनके शुक्लपक्षमें जो एकादशी होती है, वह ‘पापाङ्कुशा’ के नामसे विख्यात है। वह सब पापोंको हरनेवाली: तथा उत्तम है। उस दिन सम्पूर्ण मनोरथकी प्राप्तिके लिये मनुष्योंको स्वर्ग और मोक्ष प्रदान करनेवाले पद्मनाभसंज्ञक … Read more
  • 10 – श्रावण मासकी ‘कामिका’ और ‘पुत्रदा’ एकादशीका माहात्म्य 
    युधिष्ठिरने पूछा- गोविन्द ! वासुदेव ! आपको नमस्कार है ! श्रावणके कृष्णपक्षमें कौन-सी एकादशी होती है ? उसका वर्णन कीजिये । भगवान् श्रीकृष्ण बोले- राजन् ! सुनो, मैं तुम्हें एक पापनाशक उपाख्यान सुनाता हूँ, जिसे पूर्वकालमें ब्रह्माजीने नारदजीके पूछनेपर कहा था। नारदजीने प्रश्न किया – भगवन् ! कमलासन ! मैं आपसे यह सुनना चाहता हूँ … Read more