Vedic Math Analysis

Core Principle / Theory

‘परावर्त्य योजयेत्’ (Paravartya Yojayet) वैदिक गणित का एक महत्वपूर्ण सूत्र है, जिसका अर्थ है ‘पक्षांतरण करें और संयोजित करें’ (Transpose and Apply)। विभाजन के संदर्भ में, इसका उपयोग तब किया जाता है जब भाजक (Divisor) आधार संख्या (जैसे 10, 100) से थोड़ा बड़ा हो, या सामान्य विभाजन में भाजक के इकाई अंकों के चिन्ह को बदलकर गणना को सरल बनाने के लिए किया जाता है। इस विधि में, हम भाजक के मुख्य अंक को छोड़कर शेष अंकों का चिन्ह बदल देते हैं (जैसे +4 को -4) और फिर गुणा और जोड़ की प्रक्रिया द्वारा भागफल और शेषफल प्राप्त करते हैं।

परावर्त्य योजयेत् विधि द्वारा हल

Steps:

चरण 1: भाजक 34 है। इसमें मुख्य अंक ‘3’ को भाजक मानें और शेष अंक ‘4’ का चिन्ह बदलकर ‘-4’ (परावर्त्य अंक) करें।
चरण 2: भाज्य 14527 को लिखें। चूंकि परावर्त्य अंक में केवल एक अंक (-4) है, इसलिए भाज्य के अंतिम अंक (7) को एक खड़ी रेखा खींचकर शेषफल के लिए अलग करें: 1452 | 7।
चरण 3: पहले खंड 14 को 3 से भाग दें। भागफल = 4, शेषफल = 2। भागफल 4 को नीचे लिखें और शेषफल 2 को अगले अंक 5 के पहले लिखें (संख्या बनी 25)।
चरण 4: नया भाज्य 25 है। इसमें से (भागफल 4 × परावर्त्य -4) घटाएं (यानी -16 जोड़ें)। 25 – 16 = 9। अब 9 को 3 से भाग दें। भागफल = 2, शेषफल = 3। (नोट: यदि हम भागफल 3 लेते तो आगे शेष ऋणात्मक हो जाता, इसलिए 2 लिया)। शेषफल 3 को अगले अंक 2 के पहले लिखें (संख्या बनी 32)।
चरण 5: नया भाज्य 32 है। इसमें से (पिछला भागफल 2 × परावर्त्य -4) घटाएं। 32 – 8 = 24। अब 24 को 3 से भाग दें। भागफल = 7, शेषफल = 3। (यहाँ भी ऋणात्मक शेष से बचने के लिए भागफल 8 के बजाय 7 लिया)। शेषफल 3 को अंतिम अंक 7 के पहले लिखें (संख्या बनी 37)।
चरण 6: शेषफल खंड में संख्या 37 है। अंतिम समायोजन करें: 37 + (अंतिम भागफल 7 × -4) = 37 – 28 = 9। यह अंतिम शेषफल है।
परिणाम: भागफल = 427, शेषफल = 9।

Visual Representation:

Divisor: 34  =>  Main Divisor: 3,  Transposed Digit: -4

       3 |  14     5     2   |  7
         |         2     3   |  3    (Remainders passed forward)
Adjust   |       -16    -8   | -28   (Quotient * -4)
-----------------------------------
         |   4     2     7   |  9

Quotient : 427
Remainder: 9

पारंपरिक लंबी विभाजन विधि

Steps:

चरण 1: 145 को 34 से भाग दें। 34 × 4 = 136। शेषफल: 145 – 136 = 9।
चरण 2: अगला अंक 2 नीचे लाएं। संख्या बनी 92।
चरण 3: 92 को 34 से भाग दें। 34 × 2 = 68। शेषफल: 92 – 68 = 24।
चरण 4: अगला अंक 7 नीचे लाएं। संख्या बनी 247।
चरण 5: 247 को 34 से भाग दें। 34 × 7 = 238। शेषफल: 247 – 238 = 9।
परिणाम: भागफल = 427, शेषफल = 9।

आधुनिक अनुप्रयोग (Applications)

कंप्यूटर विज्ञान: बहुपद विभाजन (Polynomial Division) में यह विधि अत्यंत कुशल है, जिसका उपयोग CRC (Cyclic Redundancy Check) और कोडिंग थ्योरी में होता है।
डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग (DSP): डिजिटल फिल्टर डिजाइन करने में ट्रांसफर फंक्शन की गणना को सरल बनाने के लिए।
बीजगणित: जटिल समीकरणों की जड़ों (roots) को खोजने और सिंथेटिक डिवीजन (Synthetic Division) के रूप में इसका व्यापक उपयोग होता है।
तेज गणना: प्रतियोगी परीक्षाओं में बड़े विभाजनों को मानसिक रूप से हल करने के लिए।